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FUNCIONES

Introducción

Uno de los conceptos más útilies en matemáticas es el de la función. Se puede considerar que una función es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto x uno y sólo un elemento de un conjunto y. Del mismo modo puede decirse que es cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda.

Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así por ejemplo, el peso que una persona puede levantar, en general depende de su fuerza; la distancia que una persona puede recorrer, en general depende del tiempo; el área de un cuadrado depende de la longitud o largo de su lado (ya que el área= lado por lado); el volumen de la esfera depende de su “radio” (ya que el volumen = 4/3π r³).

1.1  DOMINIO, CONTRADOMINIO Y CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

Ejemplos aplicados

Antes de introducir formalmente el concepto de función y sus características, veamos algunos ejemplos que nos ayudarán a reflexionar lo que se introducirá más adelante.

Imagina que tienes la siguiente información de un pasajero que capturó datos mientras viajaba en un taxi:

Distancia Recorrida (kilómetros) Registro en el taxímetro (pesos) 3 12.00 7 28.00 13 52.00 24 96.00 29 116.00

Observa que para cada distancia recorrida, existe sólo un registro en el taxímetro. Esto tiene sentido, pues el conductor se basa en el registro para hacer el cobro del viaje. De igual manera, nota que la cantidad que cobre el taxista depende solamente de la distancia recorrida y no de otros datos como la cantidad de pasajeros o la cantidad de tráfico en ese momento.

Ahora supón que tienes la siguiente información sobre las calificaciones de los exámenes finales de un grupo de estudiantes de Biología:

Alumno Matrícula Calificación Carlos 282190 87 Mario 284236 84 Luz 468793 96 Ángel 535689 78 Alejandra 536678 99 Mónica 537899 84 Roberto 646680 88 Laura 646692 95 Adriana 803329 79 Alberto 804587 100

Observa que en este ejemplo la calificación depende de cada alumno. No sería lógico que tu calificación de examen fuera determinada por otro de tus compañeros ¿No crees? De igual manera revisa que una vez más sólo puede haber un registro de calificación por cada uno de los alumnos, de otra manera sería confuso que la boleta mostrara dos calificaciones diferentes para una misma persona.

Estos son ejemplos de ciertas cantidades que a su vez dependen de otras cantidades específicas. Cuando esto se presenta y se cumplen algunas propiedades estaremos ante la presencia de una función.

1.2 Definición de función

Los ejemplos presentados previamente, son ejemplos aplicados de funciones, para poder identificarlos satisfactoriamente, revisemos la definición de función:

Una función f  es una regla que asigna a cada elemento “x” de un conjunto A exactamente un elemento “y” de un conjunto B. El elemento “y” se denomina imagen de “x” bajo f y se denota como f(x). 

La definición podría parecer un poco abstracta, pero veámosla a partir del ejemplo del taxi. Podríamos decir que tenemos el conjunto A definido como el número de kilómetros recorridos, y el conjunto B definido como la cantidad registrada en el taxímetro. Entonces una función sería una herramienta que nos permita establecer una relación uno a uno entre los elementos de A y los elementos de B.

Es muy importante establecer quién conforma los conjuntos A y B, generalmente se consideran conjuntos de números reales. Más aún, el conjunto A recibe formalmente el nombre de dominio de la función, mientras que el conjunto B (es decir, todos los valores que puede adquirir f(x)) recibe el nombre de Contradominio, ámbito, imagen, recorrido o rango de la función. Cabe señalar que el conjunto de valores posibles de “y” o f(x) regularmente lo denominan rango, aunque debería utilizarse otro termino como el de ámbito, lo anterior se debe a que el nombre en ingles es range y erróneamente fue traducido como rango en muchos libros de matemáticas.

Otro aspecto importante de las funciones es que un elemento  en el dominio de la función se considera una variable independiente, mientras que un elemento  en el rango de la función se considera una variable dependiente. En nuestro ejemplo la distancia sería la variable independiente y el registro del taxímetro la variable dependiente.

¿Cómo distinguir entre la variable independiente y la variable dependiente en un problema? Es muy sencillo, piensa en la variable independiente como aquella variable a la que puedes asignarle valores con certeza (por ejemplo el número de kilómetros recorridos que lleva el taxi), mientras que la variable dependiente es aquella en la que sólo podemos conocer su valor mediante  otra variable que está cambiando (por ejemplo la tarifa del taxi no la podemos determinar hasta que sepamos el número de kilómetros recorridos).

Puedes imaginar una función como una máquina que transforma entradas  (elementos de A), en salidas f(x), nota que entonces para cada entrada sólo puede existir una salida. En nuestro ejemplo podríamos decir que para cada distancia recorrida sólo existe un registro en el taxímetro.

Ya que para el kilómetro 3 le corresponden $12.00; para el kilómetro 13 le corresponden $52.00, para el kilómetro 24 le corresponden $96.00, etc., es decir, a cada kilómetro le corresponde un único costo en dinero.